Тело које не постоји

Да ли је тело које је недавно направио Крег Каплан само разонода или још једна потврда да апроксимације допринесу прецизности?

Канађанин Крег Каплан, професор рачунарства, недавно је на свом блогу поставио фотографију тела које је конструисано од картона. Био је то полиедар састављен од четири правилна дванаестоугла и дванаест правилних десетоуглова. При склапању су се појавиле шупљине које такође нису биле произвољне већ облика једнакостраничних троуглова, укупно њих двадесет осам. Пажљивим посматрачима ово изгледа као савршено тело, али постоји једна зачкољица: оно заправо не постоји.

Правилни многоуглови и тела која од њих настају су, захваљујући својој лепоти и конструкцијским изазовима, занимали математичаре још од Питагоре, а нешто касније и Еуклида, који им је посветио чак две књиге својих Елемената. Пре педесетак година математичари су све могуће конвексне полиедре чије су стране правилни многоуглови распоредили у пет група: Платонова тела, Архимедова тела, Џонсонова тела, призме и антипризме. И још су доказали да не постоји ниједно тело које задовољава ове критеријуме а да не припада ниједној групи.


Међутим, полиедар који је Каплан саставио, заиста није члан ниједне. Оно није изузетак већ је само приближно „савршено”. Аутор је правио мале апроксимације страница и углова, а потом сецкао вишкове како би добио ово тело које се тек за длаку разликује од потпуно правилног. Без мерења разлика се не види па оно изгледа као нови члан Џонсонове групе полиедара. Занимљива поподневна игра. Међутим, зашто је овакво размишљање математички важно? Може ли довести до већих научних резултата? Какве могућности крије „приближно” у хаосу теоријске прецизности?

Квадратић који недостаје

Бертранд Расел пише: „Иако ово звучи парадоксално, у свакој прецизној науци доминира идеја апроксимације. Када вам неко каже тачну истину о нечему, слободни сте да закључите да је он непрецизан човек”. Оваквим темама играли су се чак и мађионичари. Један аматер по имену Пол Кари је 1953. године саставио игру која се звала „Недостајући квадрат”.

Радило се о правоуглом троуглу на квадратној мрежи састављеном од јасно оивичених делова. Размештањем тих делова у нови поредак долазило се до новог троугла који је изгледао исто као почетни али његова површина била је умањена за један квадратић. Трик се састојао у томе да је хипотенуза почетног троугла била апроксимирана  кривом, а разлика између те криве и праве хипотенузе другог троугла била је једнака површини поменутог квадратића. Ова игра и данас окупира пажњу.

Управо на апроксимацијама, проценама и нефизичким претпоставкама лежи еволуција науке. Раст популације није тачно експоненцијална функција. Ниједан круг састављен од атома нема однос обима и пречника у вредности π. Истовремено, знати приближну вредност броја π не значи готово ништа уколико не стоји заједно са знањем како је ова апроксимација довела до нових научних сазнања. Архимедова „метода исцрпљивања” која је доводила до прецизнијих апроксимација броја π дала је темељ развоју интегралног рачуна.

Када је Коперник показао да је Сунце центар око којег се крећу планете, сви су претпостављали да се оне крећу по кружној путањи константном брзином. Јохан Кеплер није подржавао ову идеју зато што се није уклапала у постојеће податке у вези са Марсовом путањом. Тако је показао да ове податке задовољавају елписе. Знао је да је елипса апроксимација круга ако су жиже довољно близу, па је једноставно ставио Сунце у једну од жижа елипсе и тако је настао први Кеплеров закон.

Међутим, није био задовољан резултатима у потпуности па је дошао и до закључка да се брзина кретања планете мења током обиласка око Сунца. Резултат је био други Кеплеров закон. Ови радови, објављени 1609. године, представљали су велики научни подвиг и један су од важнијих историјских примера како се од ограничених података и погодних апроксимација могу добити запањујући резултати.

Да Винчијев многоугао

Један од научника који је апроксимацијом отворио ново поглавље у скоријој историји математике био је Едвард Нортон Лоренц. Овај амерички математичар познат је по увођењу појмова „ефекат лептира” и „чудни атрактори” у науку. Такође је доказао да временска прогноза не може да се предвиди у прихватљивој тачности за период дужи од две недеље. Његови математички модели састављени од три једначине са три непознате показали су да постоје ограничења у предвиђањима за одређене детерминистичке системе. Ово сјајно запажање, које каже да морамо да прихватимо приближна предвиђања када је реч о великим динамичким системима попут атмосфере, довело је до рађања нове научне области под именом „теорија хаоса”, која се после теорије релативности и квантне механике сматра трећом научном револуцијом двадесетог века.

Грешка апроксимације је упоредива са грешком физичких елемената као што су оловка, папир и рука, па су апроксимативне методе за ефикасније цртање компликованих тела биле нарочито интересантне уметницима. Када је старогрчка математика доживела поновно рођење у Европи током ренесансе, уметници са математичким склоностима преусмерили су своја интересовања на истраживања проблема перспективе и бављења неизоставним златним пресеком.

Како је он често повезан са правилним многоугловима, трагали су за моделима конструкције ових фигура. Није било важно да ли су методе старе или нове и било је довољно да скице буду приближне. Леонардо да Винчи, иако није био методичан писац, с времена на време записао би по неку методу за цртање правилних многоуглова. Мада је Еуклид дао тачну методу за конструисање петоугла, да Винчи је дошао до веома прецизног апроксимативног начина. Сличан успех имао је и Албрехт Дирер дајући тачну методу за конструкцију правилних многоуглова, али и једну за приближно цртање која је нарочито била корисна занатлијама и зидарима. Дирерова систематичка питања о овој теми учинила су да он више него да Винчи сачува популарне средњовековне конструкције за будућа проучавања.


Аутор: Слађана Шимрак
Извор:  Тело које не постоји - ЕЛЕМЕНТАРИЈУМ